Decaimento exponencial e lei de potência

Numa aula de Redes Complexas estávamos observando numericamente o que quer dizer que uma função (no caso, uma função densidade de probabilidade) decai exponencialmente ou segundo uma lei de potência.

No caso exponencial temos:	E lei de potência:
P(x) ~ e-x	P(x) ~ x-γ

Fiz uns gráficos de algumas funções que ajudam a entender um pouco do que está acontecendo. Compare as funções azul e vermelha com a violeta. As duas primeiras são leis de potência com expoente 2,5 e 1,4, respectivamente, que poderiam representar a distribuição de graus de nós em redes livres de escala. A última é uma curva gaussiana, que poderia representar a distribuição de graus de nós em uma rede aleatória.

Num artigo de Barabási e Bonabeau, Scale-free networks, eles dizem que o γ das redes livres de escala está geralmente entre 2 e 3. Já Xu e Chen em The topology of Dark Networks encontram redes com γ entre 1 e 2.

Se olharmos para as funções 1, 2, 3 e 4, notamos que a lei de potência com γ = 5.9 decai mais rápido que a exponencial 4, para as constantes envolvidas. Isto traz à tona o sentimento de que o efeito da cauda longa, ou cauda pesada, fica melhor caracterizado quando γ é pequeno.

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Update [31/08/2011]
Cometi um erro absurdo acima. A exponencial decai mais rápido. É claro! Se olharmos com um zoom de 10000x no eixo vertical, veremos que as curvas se cruzam e a exponencial se aproxima de zero muito mais rápido que a lei de potência.

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Apesar do deslize, o sentimento é o mesmo. Ter γ grande implica numa menor probabilidade de coisas "fora do normal" acontecerem, e o fato é que nas redes livres de escala as coisas acontecem.